Mathematik: Entdeckung oder Erfindung?

Mathematik ist zwar unter anderem eine wichtige Sprache für Formulierungen innerhalb der (Natur-)Wissenschaften, als solche selbst jedoch eine Strukturwissenschaft. Es werden also scheinbar keine Theorien mit konkreten Vorhersagen über die Wirklichkeit aufgestellt, die man dann versucht experimentell zu widerlegen und als wahrscheinlich richtig ansieht wenn die Widerlegung immer scheitert (die Vorhersagen also stimmen), stattdessen werden aus wenigen grundlegenden Axiomen logische Schlüsse gezogen, die sich innerhalb dieses Sytems tatsächlich beweisen (nicht nur nicht widerlegen) lassen und damit dort dann wahr sind.

Somit drängt sich die Frage (die ich schon hier gestellt habe) auf, ob die Mathematik eine Erfindung von uns Menschen oder eine dem Universum inhärente Wahrheit ist, die wir (und zumindest implizit auch andere Lebewesen) entdecken.

Im Grunde geht es bei dieser Frage um die Axiome, aus denen der Rest hergeleitet wird, wie z.B. „Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n‘.“ aus der Peano-Arithmetik. Wenn man solche Dinge aus in uns intuitiv vorhandenen Regeln der Mengenlehre extrahiert, reduziert sich das Problem darauf, wo diese Intuition herkommt. Aber zunächst einmal: Wie sieht sie aus? Unser physikalisches Universum scheint (zumindest auf makroskopischer Ebene) die Eigenschaft zu haben, diskrete Objekte beinhalten zu können. Wenn alles einfach nur Suppe wäre, würden wir vermutlich (zumindest wenn wir als Grundannahme setzen, dass wir tatsächlich existieren und unsere Sinne zumindest manchmal sinnvolle Daten liefern, ansonsten sind wir eh einfach nur raus) nicht die Vorstellung von einzelnen (zusammenzählbaren usw.) Objekten entwickeln.

Aus diesen Mengen ergibt sich dann, was wir mit ihnen tun können:

usw. mit den anderen Operationen, die auch andere Sachen machen, als mit der Mächtigkeit von Listen zu operieren. (Mehr dazu hier: http://www.youtube.com/watch?v=14JavH4Rk7k#t=8m20s) Der schlaue David sagt übrigens, dass sich aus der rekursiven Definition der Addition (a+0 = a, a + b‘ = (a+b)‘), ergibt, dass das n‘ von oben (also der Nachfolger von n) dann n+1 ist. 😉

Wenn wir mathematisch rumhantieren, vergessen wir nur gerne mal, dass all diese Grundvorstellungen in den verschiedendsten Kulturen von Generation zu Generation gleichermaßen entstehen (es wäre mal witzig, zu erfahren, ob Außerirdische auf die gleichen Dinge kämen), weil sie einfach jeder persönlich täglich empirisch implizit anwendet und somit quasi ständig überprüft. Wenn zwei Äpfel und drei Bananen nicht immer sondern nur manchmal fünf Öbste ergeben würden, sollte das doch irgendwann mal auffallen, oder? 😉 Im Prinzip ist Addition also eine Theorie über das Verhalten der Natur.

Logik, die wir benutzen, um aus solchen Grundlagen komplexere mathematische Sätze herzuleiten, ist ebenfalls kein rein theoretisches Konstrukt sondern aus ganz praktischer physikalischer Erfahrung gewachsen.

„Wenn ich in den Pool springe (A), werde ich nass (B).“ ist eine logische Implikation. (A -> B, Dass ich in den Pool springe, ist also eine hinreichende (aber nicht notwendige) Bedingung dafür, dass ich nass werde.) Mit anderen Verknüpfungen der Aussagenlogik verhält es sich ähnlich. Sie sind Abstraktionen alltäglich erlebbarer physischer Phänomene.

Somit sind die Grundlagen wie auch das Werkzeug, mit dem man aus ihnen komplexere Sachen herleitet, empirisch begründete Vorstellungen davon, wie unser Universum so zu funktionieren scheint. Die daraus ziehbaren mathematischen Schlüsse funktionieren ebenfalls prima, um überprüfbare Naturgesetze zu formulieren. Wenn das nicht klappen würde, könnte ich das hier in dieser Form nicht schreiben, weil es gar nicht möglich wäre, Computer zu konstruieren. Alles, was du gerade um dich herum siehst, funktioniert übrigens ziemlicher sicher nur, weil die Naturgesetze immer und überall zuverlässig greifen, und der ganze Technik-Schnickschnack nur, weil irgendwer sie herausgefunden/verstanden hatte, und mit diesem Wissen den Ingenieuren erst die Möglichkeit gab, sinnvolle Sachen zu bauen. 🙂

Momentan denke ich also, dass wir es bei Mathematik und Logik in dem Maße mit Entdeckungen zu tun haben, wie das bei den Naturgesetzen auch der Fall ist. (Klar, man kann sagen, dass die Modellvorstellungen/Theorien, die man sich von irgendwelchen Phänomenen macht, erfunden sind, um diese zu erklären, aber du weißt vermutlich hoffentlich, was ich meine. ;)). Die tatsächlich bewiesene Richtigkeit eines Satzes innerhalb eines strukturwissenschaftlichen Systems ist unabhängig von dessen Ursprüngen trotzdem absolut wahr (und nicht nur wahrscheinlich nicht falsch), weil es dabei dann nur noch um die Konsistenz innerhalb dieses Systems geht. Grundlegende Entdeckungen können dann einen Kreislauf von Erfindung und Entdeckung anstoßen.

Warum unser Universum allerdings so mathematisch drauf ist, ist wieder eine andere Frage. Wenn es launischer wäre könnten wir jedoch vermutlich auch kaum solche komischen Fragen stellen. Oh, ist das Universum eigentlich ein INTJ? Informationen über sein inneres muss man ihm aufwendig aus der Nase ziehen (Introvertiert), es basiert auf wenigen abstrakten Prinzipien (iNtuitiv), es ist logisch (Thinking), und funktioniert zuverlässig (Judging). 😉

Natürlich beißt sich die Katze irgendwo selbst in den Schwanz wenn man Logik benutzt, um über die Wahrheit der Logik nachzudenken, allerdings funktioniert sie ja bekanntlich recht gut, was wir ja wissen, weil wir es empirisch (und damit logisch) überprüft haben. Oh, verdammt! 😀

Für mich fühlt sich dieser ganze Rekonstruktions-Kram nach der Postmodernen, irgendwie so an wie nach ’nem Sturm, der alles weggefegt hat, aus seinem Loch zu kommen und zu gucken, was übrig gelassen wurde und ob man mit dem, was man von früher kennt, irgendwas neues schönes bauen könnte. 😉

Dogmen, Vernunft und Abrissbirnen

oder: „Warum die Vernunft Selbstmord begehen musste.

Prämoderne, Morderne und Postmoderne sind Begriffe mit denen man verschiedene Denkweisen oder philosophische Phasen bezeichnen kann.

Unter der Prämordernen kann man sich gut die Zeit des Mittelalters vorstellen. Das, was damals als Wissen oder Wahrheit galt und die Moral bestimmte, waren größtenteils überlieferte Dogmen, meist religiöser Art. In der Bibel steht’s, also machen wir das auch so, weil Gott es ja selbst gesagt hat, und wer Schwimmen kann ist eine Hexe. 😉

Dann wurde es irgendwann nach der Renaissance immer aufklärerischer. Immanuel Kant (einer der bedeutendsten Philosophen dieses Zeitalters) beschrieb es passend mit „Aufklärung ist der Ausgang des Menschen aus seiner selbstverschuldeten Unmündigkeit.“. Im Prinzip geht es darum, dass sich alle überlieferten Dogmen einer logischen und empirischen Überprüfung zu unterziehen haben, und verworfen werden müssen, wenn sie diese nicht bestehen. Hier liegen die Wurzeln der modernen wissenschaftlichen Methode, der Demokratie und des technischen Fortschritts. Es wird davon ausgegangen, dass es eine objektive Wahrheit gibt, und man sich ihr mit dem Verstand annähern kann.

Bald hat die Vernunft dann jedoch bemerkt, dass es ebenfalls ein Dogma ist, wenn man sagt, dass alles mit Logik erkannt werden kann. Da Dogmen ja aber unerwünscht sind, musste sich die Vernunft hier selbst in die Schranken weisen.

Dazu kamen dann Leute wie Friedrich Nietzsche, die gezeigt haben, dass auch moralische Standards ziemlich beliebig sind, und fast alles, das irgendwann und irgendwo mal als „gut“ galt in einer anderen Kultur mal als „böse“ angesehen wurde. Selbst logisch aufgebaute Ethik basiert auf Grundannahmen, deren absolute Richtigkeit nicht bewiesen oder überprüft werden kann. Das trifft auf die Grundrechte, die wir jedem Menschen im Liberalismus oder im Humanismus zusprechen, ebenso zu wie auf die Forderung das Gesamtwohl zu maximieren und das Gesamtleid zu minimieren, wie sie der Utilitarismus (aus dem man übrigens gut den Sozialismus herleiten kann) stellt. Alles wird letztendlich zur Geschmackssache, auch die Frage, ob es OK ist, jemanden umzuboxen, einfach weil ich es kann und gerade Lust dazu habe.

Ob die Logik (und damit die Mathematik) nun absolute Wahrheiten sind, die unserem Universum inhärent sind, und wir sie nur entdeckt haben (Moderne), oder ob es Erfindungen von uns sind (Postmoderne), lässt sich nicht so einfach beantworten.

In der Naturwissenschaft arbeitet man mangels Alternativen trotzdem mit Logik und Empirie weiter, was bisher ja auch echt gut funktioniert.

Für die Moral ist das Dilemma zunächst größer. Allerdings funktioniert es so, dass man sich auf Grundregeln, die zu der evolutionär gewachsenen Intuition passen, einigt, doch ganz passabel. Das Grundgesetz wär‘ so ein Fall. (Die gefühlte Antwort auf das Trolley-Problem ist hier beispielsweise gut erfasst.) Es sollte erstmal recht stabil stehen, nur ist es nicht vollkommen ausgeschlossen, dass man daran irgendwann doch mal wieder was ändert, wenn man merkt, dass es besser geht, und man sich halbwegs einig ist, was „besser“ überhaupt bedeutet. 😉

Mini-Dawkins: Memetik von Religionen

Obwohl DawkinsIdeen vermutlich öfters wiedergekäut werden, hab‘ ich trotzdem gerade Lust, über sie zu schreiben, weil ich sie einfach gut finde. 🙂

Das Grundprinzip der Evolution habe ich ja schon im Artikel „Evolution und Folgen des parental investments“ beschrieben.

Da es in quasi jeder Kultur irgendeine Art von Religion oder sonstigem Aberglauben (Warum ich Aberglaube sage, steht im Artikel „Epistemologie, Esoterik und Theismus„.) gibt, fragt man sich ja schon, ob religiös zu sein, vielleicht irgendeinen Vorteil bietet, weswegen sich eine Veranlagung dazu durchgesetzt hat. Es gibt zwar leichte empirische Hinweise darauf, dass es sich mit Religion stressfreier lebt, was ja auch förderlich für die Gesundheit wäre, allerdings scheint das nicht auszureichen, um die Stärke des Phänomens zu erklären, vorallem angesichts der massiven Ressourcen, die oft bei der Ausübung des Glaubens aufgewendet werden und damit in anderen Lebensbereichen (Nahrungsbeschaffung, Reproduktion usw.) fehlen.

Kleiner Ausflug in die Mottologie: Wir sehen, dass Motten oft um Kerzen/Feuer kreisen, dann reinfliegen und verenden, und fragen uns, warum sie das nur tun. Normalerweise orientieren sie sich Nachts an Lichtquellen in optischer Unendlichkeit wie dem Mond. So können sie den Kurs halten wenn sie einen konstantem Winkel zu diesem Objekt halten. Eine Kerze ist aber nicht so weit weg, und wenn da der gleiche Flugalgorithmus ausgeführt wird, fliegen die Nachtfalter in einer logarithmischen Spirale ins Feuer. Das Phänomen, das wir beobachten ist also nur ein fieser Nebeneffekt einer sonst sehr nützlichen Adaption.

Vielleicht muss man die darwinistische Frage bezüglich Religion also anders formulieren. Nicht „Was für einen Vorteil bringt Religion?“ sondern „Was für Eigenschaften haben wir, die die Entstehung von Religion begünstigen, und wieso haben wir diese?“

Kinder lernen nicht nur aus Erfahrung sondern auch dadurch, dass sie auf ihre Eltern oder andere Respektspersonen hören. Doch selbst ausprobieren zu müssen, warum man nicht in den Fluß mit den Krokodilen gehen soll, wäre keine gute Adaption. 😉 Kindergehirne glauben also sinnvollerweise oft einfach, was man ihnen sagt, weshalb die meisten Menschen ihre Religion auch in der Kindheit beigebracht (aufgezwängt/indoktriniert) bekommen und nur selten im Erwachsenenalter selbst zu einer kommen.

Nun stellt sich die Frage, wie sich Religionen und vor allem warum immer mit ähnlichen inhaltlichen Mustern verbreiten. Von Kettenbriefen wie „Schreib mich ab und schick mich dann an 10 Freunde, und du wirst ganz viel Glück haben.“ (oder so ähnlich) kennt man ja. Teilweise haben die sich auch recht gut (exponentiell) viral ausgebreitet. Solche Briefe können unterschiedlich geschrieben sein, sodass sich manche besser und andere schlechter verbreiten. Zwischendurch verändern (mutieren) diese Briefe beim Abschreiben. Die Mutationen, die die Ausbreitung begünstigen, setzen sich dann durch. Man kann also die Evolutionstheorie nicht nur auf Gene, Lebewesen mit der Umwelt als Wirt, sondern auch auf Meme (Gedankeneinheiten), Ideen (wie Kettenbriefe) mit den Menschen als Wirt anwenden.

Einige religiösen Meme scheinen besonders günstig für die Ausbreitung zu sein. Die Vorstellung von ewigem Leben fruchtet vermutlich besonders gut auf der Angst vor dem Tod, Absolutheitsansprüche ala „Du sollst neben mir keine anderen Götter haben.“ sind wohl auch gut, um Abweichung zu unterdrücken, und einfache Antworten auf schwierige Fragen, die ins Münchhausen-Trilemma führen, scheinen besonders anziehend zu sein.

(Das Münchhausen-Trilemma ist ein Name für das Problem, zu dem man kommt, wenn man immer weiter nach der Ursache für Dinge fragt. Wenn man nach der Ursache des Universums fragt, kann man entweder dogmatisch mit „Gott wars.“ antworten (und dabei die Frage nach der Ursache für Gott ausblenden), oder man fragt immer weiter (infiniter Regress) oder man dreht sich im Kreis (Zirkelschluss). Vielleicht haben sich unsere Gehirne und unsere Kognition einfach nicht dazu evolviert, vernünftige Antworten auf solche Fragen zu generieren, womit wir uns teilweise jedoch nur ungerne abfinden und deshalb Dogmen erfinden.)

So mutieren religiöse Ideen also in der Art, dass sie sich besonders gut halten, und dabei die Anfälligkeit (Leichtgläubigkeit) des kindlichen Gehirns, aus dem sie später nur noch aufwendig zu entfernen sind, nutzen, um sich dort festzusetzen.

Dass sich Informationen wirklich nicht unbedingt, weil sie wahr sind, sondern andere Eigenschaften bei der Auswahl entscheidender sein können, sieht man z.B. gut daran, dass sich viele Vorstellungen trotz für jeden leicht festzustellender Bullshititizität sehr hartnäckig halten. Dieses Konzept der Mutation und Selektion von Ideen lässt sich natürlich auch auf alle möglichen anderen nicht-religiösen Gedanken, Traditionen usw. anwenden und ist selbst natürlich auch ein Mem. Vielleicht wurdest du ja gerade eben davon infiziert. 🙂

Falls es sich anhört, als würde ich das einfach nur böse meinen, empfehle ich den Artikel „Naturalismus, Kontinua und Mitgefühl„. Dem ist nämlich nicht so. 😉

Neuronale Netze und das Leib-Seele-„Problem“

(Obacht: Dieser Artikel baut auf dem Inhalt des Posts „Emergenz bzw. die Hochzeit von Reduktionismus und Holismus“ und auch ein Bischen auf „Epistemologie, Esoterik und Theismus“ und „Willensfreiheit“ auf. ;))

Seit gefühlten Ewigkeiten wird über das „Leib-Seele-Problem“ philosophiert. Selbst nicht religiös motivierte Leute stehen da teilweise ziemlich auf Dualismus (übernatürlicher Seele und so), sagen also, dass es einen „Geist“ oder etwas anderes nicht-materielles gibt, das unser Bewusstsein / unseren Willen (siehe Willensfreiheit) beinhaltet und das Gehirn als Schnittstelle zur Interaktion mit unserem Körper, und somit der physikalischen Welt, benutzt.
Mal abgesehen davon, dass die mir bekannten Hypothesen der Existenz eines solchen übernatürlichen Dings bisher keinerlei Möglichkeit zur Überprüfung (siehe Epistemologie, Esoterik und Theismus) anbieten (und es mir eh schwer fällt, zu verstehen, zu welchem Moment in der Embrionalentwicklung oder gar der Evolution, so eine Ja-/Nein-Eigenschaft urplötzlich dazugekommen sein soll), fordern ihre Vertreter auch manchmal ganz gerne, dass Naturalisten doch genau zeigen müssten, wie das Gehirn denn alle die mentalen Phänomene (Bewusstsein, Willen, Gefühle, etc.) produziert.

Die Psychologie gräbt dafür von der einen Seite, die Hirnforschung von der anderen Seite. Beide Versuchen, sich irgendwie in der Mitte mit ihren Tunneln zu treffen, weil das den vollen Durchblick liefern soll. Also so, dass man genau weiß, wie welcher Gedanke gerade entsteht, und man aus physikalischen Messungen am Gehirn erkennen kann, was jemand gerade denkt, und man mit gezielten Manipulationen quasi Gedanken hereinlegen kann. Am liebsten einfach mit einem Stecker wie im Film „The Matrix“.

Wenn man nun mit Rasiermessern (der Marke Ockham ;)) an Gehirnen rumschnibbelt, stellt man fest, dass Zentralnervensysteme von Lebewesen (natürlich incl. denen von uns Menschen) neuronale Netze sind. Es gibt also viele Nervenzellen (Neuronen), die über Axone an Synapsen netzartig miteinander verbunden sind. Witzigerweise unterscheiden sich unsere Neuronen beispielsweise nicht großartig von denen einer Fruchtfliege. Wir haben nur sehr viel mehr (ca. eine Million mal mehr) davon.

Wenn „Information“ „Materie in Formation“ ist, wäre unser Charakter, unsere Gedanken, Erinnerungen und all das durch die Anordnung, Verbindungen und die weiteren physikalischen Eigenschaften dieser Nervenzellen vollständig codiert.

Dafür spricht nicht nur, dass man in der funktionellen Magnetresonanztomographie gut sieht, wie sich die Stoffwechselaktivitäten in unterschiedlichen Hirnregionen abhängig von den Gedanken, die die Versuchsperson hat, verstärken, sondern vorallem der umgekehrte Fall: Man kann sein oder das Verhalten anderer durch viele physische Eingriffe stark verändern: Alkohol, alle möglichen anderen Drogen, elektrische Stimulation des Gehirns, Gabe von Neurotransmittern, durch den Kopf fliegende und frontale Kortexe rausrupfende Metallstangen usw.
In beide Richtungen (mentale Zustände -> physikalische Phänomene, und umgekehrt) lässt sich das eine also mit dem jeweils anderen kausal beeinflussen.
Dazu kommen Fragen wie: Wenn wir Menschen doch evolutionär aus immer weniger komplexen Lebensformen hervorgegangen sind, ab welcher Stelle kam dann der „Geist“ hinzu? Haben Schimpansen Geist? Kühe? Tauben/weiße Haie? Heuschrecken? Seesterne? Milben? Bakterien? Die Übergänge sind fließend.

Menschen, die am Gedanken des ewigen Lebens hängen, passt das natürlich überhaupt nicht in den Kram. Aber auch ohne das hätten einige es wohl lieber, dass ihr „Ich“ irgendetwas übernatürliches/magisches ist.
Dabei könnte die natürliche Erklärung mindestens genauso faszinierend sein, denn man hat es hier mit einem der spektakulärsten Fälle von Emergenz (siehe Emergenz bzw. die Hochzeit von Reduktionismus und Holismus) zu tun! 🙂

Tatsächliche biologische neuronale Netze sind wesentlich komplexer (Neurotransmitter, Hormone, ganz viel andere Chemie, viele Milliarden Nervenzellen und viele Billionen Synapsen, unterschiedlich evolutionär gewachsene Teile etc.) als das mathematische Modell, das ich gleich vorstelle, aber schon bei zweitem ist die Emergenz so groß, dass die oben erwähnten Forderungen mancher Dualisten einfach nicht erfüllbar sind. Wenn der Berg innen mit Linsensuppe gefüllt ist, kann der Tunnelbau halt echt schwierig werden.

Als Beispiel für ein künstliches neuronales Netz habe ich ein ganz einfaches mehrlagiges Perzeptron programmiert. Mathematisch ist das ein gerichteter Graph ohne Zyklus. Das sieht dann ungefähr so aus:

Den source code in Python 3 dazu (der malt auch diese Bildchen) gibt es hier.
Die Neuronen links sind zur Eingabe da. Das könnten beispielsweise Nervenzellen im visuellen Cortex sein. Sagen wir jetzt einfach mal, dass jedes Neuron für einen Bildpunkt im Auge steht und wahrnehmen kann, ob binär (also nur ja oder nein) Licht auf ihn fällt. Rechts sind Ausgabeneuronen. (Das einzelne Neuron zwischen Eingabe- und Mittelschicht ist ständig an, ein Bias-Neuron.) Dem Netz wollen wir jetzt beibringen, dass es sagen kann, ob es links insgesamt in Summe eher hell oder eher dunkel ist. Es soll also das eine Ausgabeneuron an machen wenn mehr Eingabeneuronen dunkler als hell sind, das andere wenn mehr helle dabei sind und beide wenn es ausgeglichen ist.
Darauf wollen wir das Netz später trainieren. Das Netz berechnet seine Ausgabe so, dass sich die Aktivierung eines Neurons immer aus den Aktivierungen der Neuronen, die Verbindungen zu ihm haben, den Stärken dieser Verbindungen und seiner Aktivierungsfunktion ergibt.

A bis E sind hier die Aktivierungen der Neuronen und u bis z die Gewichte der Kanten. Information wandert in diesem Netz also nur von links nach rechts.
Die Aktivierungsfunktion sollte nicht zu eckig sein und bei beliebigen Eingabewerten Ausgaben zwischen -1 und 1 erzeugen. Achja, differenzierbar muss sie für den von mir verwendeten Lernprozess auch sein.
Der Tangens Hyperbolicus bietet sich hier an.

Anfangs kann das Netz jedoch noch gar nichts. Die Kantenstärken sind mit Zufallswerten vorinitialisiert. Nun muss man es trainieren. Dafür legt man links eine der 2^4 möglichen Eingaben an und vergleicht die (noch schwachsinnige) Ausgabe mit dem gewünschten Ergebnis (überwachtes Lernen). Der Fehler wird aus aus der Summe der Quadrate der Differenzen der Soll- und Ist-Aktivierungen der einzelnen Ausgabe-Neuronen gebildet. Er wird nun entlang der Kanten zurückgerechnet (Backpropagation), worauf die Kantenstärken (Gewichte) entsprechend ihres Beitrags an ihm korrigiert werden. Das Ganze macht man mit allen Eingabe-Ausgabe-Kombinationen immer wieder, bis das Netz Ausgaben liefert, die einem gut genug (festlegbare Schwelle für maximal erlaubten Fehler) sind (oder bis es sich weigert, besser zu werden).
Mathematisch ausgedrückt hat das Netz einen n-dimensionalen Zustandsraum, bei dem n die Anzahl der Kanten ist. In diesem Raum gilt es, das Fehlerminimum zu finden. Einfach granuliert alle möglichen Kombinationen auszuprobieren, würde zu lange dauern. Deshalb haut man nicht einfach blind auf das Netz drauf wenn es Mist gebaut hat, sondern gibt ihm durch die Backpropagation einen kleinen Schubs in die richtige Richtung. Es kann zwar sein, dass man in einem lokalen Fehlerminimum, das nicht das globale ist, landet, allerdings hat man durch die vielen Dimensionen oft die Chance aus einem kleinen Loch wieder rauszukommen. Die Anpassung der Gewichte sieht dann z.B. so aus:

Man sieht gut, dass sich am Anfang noch viel verändert, später die Werte jedoch konvergieren. (In meinem Fall kann man das Netz nicht übertrainieren. Je nachdem, was man tut, ist das aber auch möglich. Bei komplexeren Bilderkennungsgeschichten kann es beispielsweise sein, dass das Netz dann lernt, zu sehr auf Details zu der einzelnen Lernobjekte zu achten, und nicht so gut verallgemeinert. Wenn wir selbst für etwas eine gute abstrakte Intuition entwickeln wollen, sind verschiedene Beispiele ja auch besser als immer nur das gleiche / die gleichen.)
Der Fehler, den das Netz bei den Lerniterationen macht, verläuft hier so:

Das Netz wird also immer besser, genau wie wir es wollen. 🙂

So, das Netz ist nun trainiert. Wenn man jetzt vorne [0,1,0,0] reinwirft, geht hinten nur das „Dunkel-Neuron“ an ([1,0]).
[1,1,0,1] -> [0,1]
[1,0,0,1] -> [1,1]
usw.

Wenn wir erneut trainieren (und dabei mit anderen initialen Zufallswerten für die Gewichte der Kanten starten), ist es wahrscheinlich, dass wir mit ganz anderen Gewichten enden. Es gibt nunmal viele Lösungen für das Netz, die Aufgabe innerhalb des zugelassenen Fehlers zu erfüllen.

Man kann das Netz natürlich auch mit einer beliebigen anderen Topologie aufbauen:

(Ist das jetzt ein Fisch-Netz? ;))
Das Trainieren funktioniert genauso, und hinterher kann das Netz die Aufgabe dann auch erfüllen.

Der Rechenaufwand wird bei vielen Neuronen allerdings ziemlich schnell sehr groß. Ziel der Übung war ja auch eher, zu zeigen, dass sogar bei so einem einfachen Netz das Wissen, wann es „hell“ und wann „dunkel“ sagen soll, nicht an irgendeiner bestimmten Stelle nachvollziehbar hinterlegt ist, sondern dass es in den Gewichten aller Kanten dieses Netzes zusammen repräsentiert ist. Wenn man das Ergebnis für eine bestimmte Eingabe ändern will, kann man nicht wissen, ob und wenn ja welche Kante oder Kanten man wie verändern müsste, ohne das Netz tatsächlich komplett mit der neuen Konfiguration arbeiten zu lassen. Das Wissen steckt also emergent im kompletten Netz.

Größere Netze kann man auch auf wesentlich schwierigere Aufgaben trainieren.

Es wäre möglich, dass neuronale Netze (wenn man nur genug Neuronen und Verbindungen zusammenwirft) C++-Template-Metaprogrammierung betreiben, Gedichte schreiben, Symphonien komponieren, Lieben, Hassen, Hoffen und sich sogar auf Blogs über irgendwas auslassen könnten. 😉

Und wie sollte man bei denen denn den Überblick behalten können, wenn man ihn schon bei dem kleinen hier gezeigten Beispiel verliert? Der entscheidende Punkt ist jedoch, dass das Ich/Bewusstsein kein Ding, sondern ein Vorgang ist.

Da ein so emergentes System sehr nichtlinear ist, ist das Verhalten auch dementsprechend chaotisch (siehe von Wasserrädern, Kochtöpfen und Wettervorhersagen). Chaotisch bedeutet hier, dass man eben nicht einfach irgendwo durch einen gezielten Eingriff (einzelne Synapsen manipulieren) ein gewolltes Ergebnis auf der Emergenzebene darüber (Bewusstsein) erzeugen kann, ohne den ganzen Kram einfach komplett auszuprobieren. So wie das beim bereits verlinkten Game of Life eben auch der Fall ist.

Das Weiterzuführen folgender Gedankenspiele sei dem interessierten Leser ( 😛 ) überlassen:

1) Ist unser Bewusstsein tatsächlich auf die Informationen, die physikalisch innerhalb unseres Körpers hinterlegt sind, begrenzt, oder zählen externe Hilfsmittel zur Informationsverwaltung dazu, also Zettel, Smartphones, PCs, Internet, Freunde, Lebenspartner usw.? Das, was wir lernen, und wie wir unser Verhalten steuern ist ja schon teilweise ziemlich von soetwas abhängig und unter Umständen ist man bei überraschendem Fehlen dieser Zusätze ähnlich behindert, als wenn einem jemand ein kleines Stückchen Gehirn herausgeschnitten hätte.

2) Was für ein ethisches Verhalten würden wir jemandem gegenüber haben, dem man ein paar Neuronen und einige Synapsen durch künstliche (ob aus Spaß, oder weil’s wegen einer Krankheit/Verletzung nötig war) ersetzt hat, die genau gleich funktionieren, und der Mensch (incl. seinem epiphänomenalen? Bewusstsein) danach immernoch der gleiche ist? (Inwiefern das technisch/biologisch machbar ist, und ob auf Kohlenstoff- oder Silizium-Basis sei mal dahingestellt, ich hypothetisiere ja nur.) Und wenn man nun noch mehr austauscht? Und wenn man alles ausgetauscht hat? Und was wenn man direkt von Anfang an künstlich gebaut hätte? Wär’s irgendwie gemein, die Gefühle des einen Bewusstseins zu respektieren und die des anderen (genau so komplexen) vollständig zu ignorieren, nur weil die seinen gedanklichen Symbolen zugrundeliegende Hardware eine andere ist? 😉

Epistemologie, Esoterik und Theismus

Da man erkenntnistheoretische Grundlagen wunderbar anhand von provokanten Beispielen erklären kann, tu ich nun doch einfach mal. 🙂

Theorien sind Aussagen über die Wirklichkeit. Manche davon sind wissenschaftlich, andere nicht. Bei dieser Unterscheidung geht es gar nicht darum, ob so eine Aussage wahr ist oder nicht, sondern darum, ob man überhaupt herausfinden kann, ob sie wahr ist oder nicht.

Wenn ich z.B. sage, dass in meinem Flur ein rosa Einhorn steht, dann ist das eine wissenschaftliche Theorie.
Du kannst hingehen und nachschauen. Wenn da nichts ist, war meine Aussage falsch. Wenn da ein Einhorn rumsteht, kannst du es angucken, streicheln, füttern, reiten und alles mögliche machen, um sicherzustellen, dass es wirklich ein Einhorn ist. Diese Überprüfung kann dann von jedem wiederholt werden. Dann ist man sich einig. „Ja, da steht ein rosa Einhorn in Tobias‘ Flur. Die Theorie ist wahr.“ oder „Nein, da ist nichts. Tobias‘ Theorie ist falsch.“
Dass eine Aussage (Theorie) durch Nachprüfen (Experiment) widerlegt werden könnte, nennt man empirische Falsifizierbarkeit.
Dazu kommt, dass ein Experiment zuverlässig von den unterschiedlichsten Versuchsleitern (in dem Fall bist du das, weil du hingehst und nachguckst) bestätigt werden können muss (Reproduzierbarkeit).

Wenn meine Aussage allerdings „In meinem Flur steht ein unsichtbares rosa Einhorn, das normalerweise nur mit mir redet, ansonsten aber nicht in die physikalische Welt eingreift.“ lautet, dann ist das eine unwissenschaftliche Theorie, weil sie durch kein Experiment widerlegt werden kann.
Wenn du hingehst, nachguckst, und nichts findest, bestätigt das meine Theorie nur; das Einhorn ist ja unsichtbar. 😛
Wenn du dir selbst sehr wünschst, dass es Einhörner gibt, und du  hingehst, nachguckst, und dann meinst, irgendwas vierbeiniges stehen zu sehen, bestätigt das meine Theorie ebenfalls.
Das ist dann allerdings nicht wissenschaftlich, denn egal wie das Nachgucken ausgeht, die Theorie „stimmt“ immer, weil sie so formuliert ist, dass sie prinzipiell gar nicht widerlegt (falsifiziert) werden kann.

Dass die erste Theorie (falsifizierbar) nützlich ist und die zweite (nicht falsifizierbar) eher weniger, leuchtet vermutlich ein.

Was hat das mit Gott zu tun?

BluePillRedPillDie eigentliche Gottes-Hypothese wäre wissenschaftlich. Sie könnte ungefähr folgende Aussagen machen:
1) Gott ist logisch für den Ursprung der Welt notwendig.
2) Gott hat das Leben erschaffen.
3) Die Bibel ist das Wort Gottes.
4) Gott erhört unsere Gebete und greift dementsprechend in den Verlauf der Welt ein.
5) Unsere Moral kommt von Gott.
6) Gute/Gläubige Menschen kommen in den Himmel, schlechte/ungläubige in die Hölle.
7) Da Punkt 6 mittlerweile für viele so nicht mehr zu gelten scheint, hier noch eine andere Variante: Menschen haben (unsterbliche) Seelen.

PrayerSo, also mal ran an die wissenschaftlichen Aussagen.
1) Wo soll das Universum herkommen, wenn nicht von Gott?
Gott als Antwort für das Ursprungsproblem löst es nicht, sondern verschiebt die Frage „Wo kommt das Universum her?“ nur nach „Wo kommt Gott her?“. Die verteidiger dieser der Gottestheorie sagen dann „Gott war halt schon immer da, lässt sich logisch nicht erfassen.“. Die Auflösung des Münchhausen-Trilemmas durch so ein Dogma ist leider nicht besser als unsichtbare einhörner.
2) Wir wissen mittlerweile, wie das mit der Evolution so grob funktioniert. Selbst wenn nicht, wäre die Aussage, dass Gott es war, allerdings auch nicht überprüfbar, oder bietet die Aussage „Gott hat das Leben geschaffen.“ irgendein Experiment an, mit der man sie widerlegen könnte? Mir zumindest ist keins bekannt.
3) Dass dies nicht so ist, und wie die Bibel entstanden ist, wissen wir mitlerweile. Ausserdem gibt es in der Bibel viel zu viele Widersprüche, als dass sie die direkten Gedanken eines perfekten Schöpfers sein könnten.
Hier sind nur ein paar in spaßiger Form aufgezählt: http://www.youtube.com/watch?v=RB3g6mXLEKk
4) Es wurde eine umfangreiche Studie durchgeführt, die untersucht hat, wie sich Krankheitsverläufe durch Beten beeinflussen lassen. Patienten in Krankenhäusern wurden in Gruppen eingeteilt. Für einen Teil wurde in Kirchen bei Gottesdiensten gebetet, für andere nicht. Die Pfarrer haben gerne mitgemacht, weil sie ja von der Effektivität überzeugt waren. Im Endeffekt kam dabei raus, dass die Kranken, für die gebetet wurde, im Schnitt nicht länger gelebt haben oder eher geheilt wurden als die, für die nicht gebetet wurde. Die Gottestheoretiker sagten dazu dann „Gott lässt sich halt nicht prüfen.“, womit dieser Punkt dann auch in die unwissenschaftliche Kategorie verschoben wurde.
5) In der Bibel, besonders in den 10 Geboten, stehen Sachen, an die wir uns meist halten. Dass im Kontext dazu steht, dass sich das nur aus Leute des eigenen Stammes bezieht, lassen wir mal ausser Acht. In der Bibel steht aber auch, dass man Leute, die Sonntags Holz sammeln, steinigen soll und all sowas. Daran halten wir uns aber nicht. Daraus folgt, dass wir unsere Moral nicht aus der Bibel beziehen, sondern uns aus diesem Buch höchstens die Dinge raussuchen, die zu unserer Moral passen, womit die Bibel als Grundlage überflüssig ist, weil wir ja offensichtlich ohne sie entscheiden, was wir für richtig und was für falsch halten (siehe: „You say… God says…„)
6) Überprüfbar ist auch hier wieder nichts. Aber mal angenommen es wäre tatsächlich so, dass irgendein Gott die Leute, die an ihn glauben, belohnt und die anderen bestraft. Könnte ja sein, glauben kostet nix, also glauben wir mal lieber zur Sicherheit (Pascalsche Wette), weil wenn wir mit unserem Unglauben falsch lägen, wäre das ja doof.
Richard Dawkins hat darauf mal gut geantwortet: http://www.youtube.com/watch?v=6mmskXXetcg In Kurz:
Quintessenz: Klar könnten Atheisten falsch liegen. Christen könnten falsch liegen und Moslems könnten recht haben. Es könnten beide falsch liegen und die Griechen könnten mit Zeus, Poseidon und co. richtig gelegen haben. Die Germanen hätten mit Odin, Thor usw. recht haben können. Dann würden alle anderen in irgendwas höllenmäßiges kommen. Nur weil man zufällig in einer Umgebung geboren wurde, in der gerade eine von vielen Religionen verbreitet war, macht das diese eine nicht richtiger.
Wenn Gott nicht nach gläubig/ungläubig im Jenseits richtet, sondern nach „gut“ und „böse“ (was auch immer das sein soll), muss man nicht glauben. Dann gings auch so gut, wenn man keinen Mist baut.
Aber auch diese Aussage könnte kein Bisschen durch irgendeinen Versuch widerlegt werden, und ist damit unwissenschaftlich.
7) Die Unsterblichkeit und nichtmal die Existenz von soetwas wie einer Seele kann irgendwie überprüft werden. Damit ist auch dieser Hoëcker raus. 😉

Im Endeffekt bleiben von Gott also nur Widersprüche bzw. Aussagen, die nicht falsifiziert werden können, übrig, womit Gott kein Stück wahrer ist als unsichtbare rosa Einhörner.

Das alles sagt natürlich nichts darüber aus, warum Menschen religiös sind oder werden oder ob es für den Einzelnen oder für die Gesellschaft nützlich ist, religiös zu sein (oder ob das Denkmuster des blinden Glaubens eher gefährlich werden kann, weil es sich auf andere Bereiche ausweiten kann). Es geht nur um den Wahrheitsgehalt der eigentlichen Aussagen, die von Religionen (hier im Beispiel vom Christentum) getroffen werden.

Eine logische Folge des beschriebenen Vorgehens ist, dass sich Nichtexistenzen grundsätzlich nie beweisen lassen. Derjenige, der die Existenz von etwas postuliert, steht in der Beweispflicht, bzw. in der Pflicht, eine Möglichkeit zur überprüfung anzubieten.
Es ist also nicht die Aufgabe von Atheisten, die Nichtexistenz Gottes zu beweisen. Das ist nämlich nicht möglich. Die Nichtexistenz meines unsichtbaren rosa Einhorns lässt sich ja ebenfalls nicht beweisen.
Echte Beweise gibt es eh nur in Strukturwissenschaften, also welchen, in denen man logische Implikationen, die sich aus vorher festgelegten Axiomen ergeben, untersucht (Mathematik usw.). In Naturwissenschaften, in denen man sich jedoch bewegt, wenn man etwas über die Realität ausagen will, geht es nur um hohe Wahrscheinlichkeiten, dass etwas wahr ist. Diese kommen dadurch zustande, dass die zu untersuchende Theorie präzise Vorhersagen, die oft überprüft und dabei nicht widerlegt wurden, macht. Ergebnisse von Experimenten, die eine eine Theorie in dieser Weise „bestätigen“ nennt man im Englischen „evidence“. Im Deutschen ist mir leider kein passendes Wort dafür bekannt. „Hinweis“ („hint“) ist zu schwach und „Beweis“ (proof) zu stark.

Ghostbusters_logoWenn man jeder Aussage logische Konsistens, Falsifizierbarkeit und bereits versuchte und gescheiterte Widerlegung abverlangt, ist man auch ziemlich schnell befreit von anderen Vorstellungen, wie z.B. Gespenstern, dem Funktionieren von Horoskopen, anderen Wahrsagereien, Karma und allem anderen möglichen esoterischen Ballast, denn all diese Theorien sind entweder bei der Überprüfung gescheiert oder lassen sich erst gar nicht überprüfen.
Im ersten Fall sind sie einfach falsch. Im zweiten Fall sind sie wertlos, um zu Erkenntnis über die Wirklichkeit zu gelagen.

Die Aussage „Atheismus ist auch eine Form von Glauben.“, die manchmal gern trotzig getroffen wird, ist übrigens nicht korrekt. Atheismus ist so sehr eine Form von Glauben wie Glatze eine Haarfarbe ist. „Ich glaube nicht, dass es einen Gott gibt.“ ist etwas anderes als „Ich glaube, dass es keinen Gott.“, denn nur zweites wäre ein Art Glauben. Wer drauf besteht, kann das erste auch strengen Agnostizismus nennen, aber über mein unsichtbares rosa Einhorn sagt ja auch kaum jemand „Kann sein, keine Ahnung.“ sondern eher „Pff, nö.“. Man ist halt so sehr Atheist wie auch Aeinhornist. 😉

Außerdem würden sich die meisten Atheisten (zumindest die, die ich kenne) bei entsprechender empirischer Beweislage schnell überzeugen lassen. Umgekehrt ist das jedoch eher selten der Fall, denn sonst würden die meisten Gläubigen, die sich damit ernsthaft beschäftigen, ja bald aufhören, zu glauben. (Da wird dann sogar trotzdem versucht, logisch zu argumentieren, was auf der Basis aber kaum möglich ist. Wenns um andere religiöse Kulte geht, funktionierts dann aber doch wieder. ^^) Und wenn er doch eintritt, ist das meist ein langwieriger und anstrengender Prozess. Immerhin muss man oft viele Jahre der Indoktrination hinter sich lassen. Und mit Glauben an ewiges Leben, absoluten Sinn im Universum und einem mit übernatürlichen Kräften, der immer auf einen aufpasst, ist es ja auch irgendwie gemütlicher. Vielleicht hilfts ja, dran zu denken, dass Gemeinschaft, Rituale und Wohltätigkeit, Liebe, Kunst, Musik und ganz viele andere nette Dinge wunderbar auch ohne Religion funktionieren. 😉

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Willensfreiheit

Immer wieder wird irgendwo über Willensfreiheit rumdiskutiert, und ich habe den Eindruck, dass da oft aneinander vorbeigeredet wird.
Natürlich kann ich tun, was ich will. Ich kann auch denken, was ich will. Aber wie soll ich denn wollen können, was ich will? Im besten Fall landet man da doch in einer unendlichen Rekursion. (Will ich, dass ich will, dass ich will, dass ich etwas will…? ^_-)
Und was soll man sich sonst darunter vorstellen als zu wollen, was man will?

Man muss natürlich zwischen Handlungsfreiheit und Willensfreiheit unterscheiden.
Die Frage an sich (genau wie das Benutzen der Ergebnisse des Libet-Experiments und co.) finde ich deshalb schon etwas seltsam. Ganz egal, ob man Fan von Determinismus ist oder nicht, selbst wenn man an eine von den Naturgesetzen losgelöste Seele (wtf ^^) glaubt, die den Körper bewohnt, gibt es Ungereimtheiten, wenn man nicht einsehen will, dass der „freier Wille“ eine Illusion ist.

Naturalistisch: Wille, wie Bewusstsein usw., sind die Vorgänge der Repräsentation von Informationen, die an den Verknüpfungen der Zellen in unserem Gehirn und ihren elektrischen Ladungen hängen. Information ist Matrie in Formation. Materie unterliegt kausalen Naturgesetzen. Wille ist ein emergentes (Epi-?)Phänomen davon.
Naturalistisch, deterministisch: Wenn man jeden Zustand jedes Teilchens kennen würde (Mensch, Werner!), wäre alles spätere berechenbar und stünde somit schon fest.
Naturalistisch, indeterministisch: In den Naturgesetzen ist ein gewisser reiner Zufall drin. Damit wär unser Wille halt auch mit einem Zufallsfaktor behaftet und hätte soviel Freiheit wie ein Würfel.

Dualistisch: Die/der (wie auch immer geartete) Seele/Geist, die/der an keine Naturgesetze gebunden ist, entscheidet, was sie/er will, also was ich als Person will. Klasse. Entweder macht sie das auf Grund unseres Charakters (und damit unseren Erfahrungen) und der jeweiligen Situation, dann ist der Wille kausal (wenn auch nicht naturgesetzlich-kausal) und somit nicht frei. Oder sie macht das ohne irgendwelche Ursachen, womit das ganze komplett zufällig wäre (Zwischenstufen darfst du dir selbst ausdenken.;)). Der Wille wäre dann ein jenseitiger Würfel.

Wenn man „Willensfreiheit“ nicht irgendwie ziemlich umdefiniert, funktioniert die Vorstellung also eigentlich nicht. Es kommt einem zwar so vor als ob der eigene Wille frei sei, aber nur weil einem immer nur ein sehr kleiner Teil der Denkvorgänge bewusst ist, nämlich die oberen Emergenzebenen. Der „Hardware„, auf der diese entstehen, sieht man die Kausalität leichter an. Diese werkelt so vor sich hin, und irgendwann fällt einem dann halt so ein fast fertiger Wille ins Bewusstsein. Man hat keine Ahnung, wo er herkommt (weil man die zur Entstehung führenden Prozesse nicht mitbekommt), und meint dann, dass das frei (was auch immer das heißen soll) entstanden sei. Wie sollte man auch in der Lage sein, alle Vorgänge im eigenen Gehirn mit dem eigenen Gehirn zu erfassen? Ein C64 kann auch schlecht einen vollwertigen C64-Emulator in Echtzeit laufen lassen. 😉

MatrixVermutlich ist es schon nicht verkehrt, dass unsere Gesetze  weiterhin so aufgebaut sind als gäbe es so etwas ähnliches wie Willensfreiheit (auf der psychischen Emergenz-Ebene wirkt es ja auch so), aber wenn man gedanklich damit abgeschlossen hat, bestraft man eventuell nicht mehr aus Rache oder Hass, sondern nur aus Notwendigkeit, damit die Gesellschaft besser (im Sinne von mehr Wohl, weniger Wehe) funktioniert. „Gut“ und „Böse“ sind so nichts weiter als leere Worthülsen. (Ein Stein, der einen Berg runterrollt, und dabei jemandem schadet, ist ja auch nicht „böse“.) „Schuld“ ist dann lediglich ein gedankliches Werkzeug, um auszudrücken, ob Taten von jemandem seine Einstellung zu seinen Opfern, den Gesetzen, oder was auch immer widerspiegeln. Auch wenn der Wille nicht frei ist, bleibt er ein entscheidenes Kriterium. Wenn man Schaden anrichtet, weil man es wollte, ist das also etwas anderes als ein Versehen oder wenn man dazu gezwungen wurde.
Das in Einzelfällen festzustellen wird natürlich weiterhin ein komplexes Thema der (Selbst-)Justiz bleiben.

Nette Nebeneffekte sind ebenfalls, dass man sich nicht mehr für vergangenes schämen braucht, auf nichts mehr übertrieben stolz zu sein hat, weniger Hass (obwohl evolutionärpsychologisch kein sinnloses Konzept, aber manchmal hat man vielleicht einfach keinen Bock mehr drauf) empfinden muss, und es leichter Fällt, Emotionen, auf die man keine Lust hat, auszuweichen, und die, die man haben möchte, zu genießen.
Es hat von der Praxis her fast etwas buddhistisches.
Also, befreie dich doch ruhig von der Vorstellung der Willensfreiheit, zumindest wenn du das denn auch willst.;)

freedomFalls du nicht willst, frag dich mal, wovon du frei sein willst? Von Kausalität oder Zufall? Willst du eine Wirkung ohne Ursache sein wie Aristoteles‘ Gott? Falls dir noch eine andere Möglichkeit einfällt, würd‘ ich mich freuen wenn du sie mir verrätst. 🙂